$a^{3m-a^2}{4}^{m-n^2+2n}$ ও $- a^{m + 2^n}$ তিনটি সূচকীয় রাশি হলে-

i (১ম রাশি) $÷$ ৩য় রাশি = $a^{2m-2n-n^2}$

ii. ২য় রাশি ১ম রাশি = $a^{m+ 2n}$

iii. ১ম রাশি $÷$ ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি = 1

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নে তিনটি সূচকীয় রাশির কথা বলা হলেও, আসলে দুটি $ব্লক\; দেওয়া\; হয়েছে।\; প্রথম$ ব্লকটিতে\; দুটি\; ভিন্ন\; ভিত্তির\; রাশি\; একত্রিত\; অবস্থায়\; আছে।\; বিবৃতিগুলোতে\; "১ম\; রাশি",\; "২য়\; রাশি"\; এবং\; "৩য়\; রাশি"\; ব্যবহার\; করা\; হয়েছে।\; এই\; অসঙ্গতি\; দূর\; করতে,\; আমরা\; ধরে\; নিচ্ছি\; যে:$$

• ১ম রাশি (First expression), \(R_1 = a^{3m-a^2}\) (প্রথম $ব্লকের\; প্রথম\; অংশ)$
• ২য় রাশি (Second expression), \(R_2 = 4^{m-n^2+2n}\) (প্রথম $ব্লকের\; দ্বিতীয়\; অংশ)$
• ৩য় রাশি (Third expression), \(R_3 = -a^{m+2^n}\) (দ্বিতীয় $ব্লক)$

এবার, প্রতিটি বিবৃতি যাচাই করা যাক:

i. (১ম রাশি) \( \div \) ৩য় রাশি = \(a^{2m-2n-n^2}\)

বামপক্ষ (LHS) = \(R_1 \div R_3\)

= \(a^{3m-a^2} \div (-a^{m+2^n})\)

সূচকের ভাগ বিধি অনুসারে (\(\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}\)), যখন ভিত্তি একই থাকে। এখানে একটি রাশিতে ঋণাত্মক চিহ্ন আছে।

= \(\frac{a^{3m-a^2}}{-a^{m+2^n}}\)

= \(-a^{(3m-a^2) - (m+2^n)}\)

= \(-a^{3m-a^2-m-2^n}\)

= \(-a^{2m-a^2-2^n}\)

ডানপক্ষ (RHS) = \(a^{2m-2n-n^2}\)

যেহেতু বামপক্ষের ফলাফল \(-a^{2m-a^2-2^n}\), যা ডানপক্ষের \(a^{2m-2n-n^2}\) এর সমান নয় (চিহ্ন এবং সূচকের পদগুলি ভিন্ন)।

সুতরাং, বিবৃতি i. সঠিক নয়।

ii. ২য় রাশি ১ম রাশি = \(a^{m+2n}\)

এই বিবৃতিতে '২য় রাশি' এবং '১ম রাশি' এর মাঝে কোনো গাণিতিক অপারেটর (যেমন গুণ, ভাগ) উল্লেখ নেই। এছাড়াও, ২য় রাশি \(4^{m-n^2+2n}\) এবং ১ম রাশি \(a^{3m-a^2}\) এর ভিত্তি (base) যথাক্রমে 4 এবং a, যা ভিন্ন। সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, ভিন্ন ভিত্তির রাশিকে এভাবে সরলীকরণ করে একটি একক ভিত্তি 'a' সহ রাশিতে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, যদি না ভিত্তিগুলোর মধ্যে বিশেষ কোনো সম্পর্ক থাকে।

সুতরাং, বিবৃতি ii. সঠিক নয়।

iii. ১ম রাশি \( \div \) ২য় রাশি \( \times \) ৩য় রাশি = 1

বামপক্ষ (LHS) = \(R_1 \div R_2 \times R_3\)

= \(a^{3m-a^2} \div 4^{m-n^2+2n} \times (-a^{m+2^n})\)

= \(\frac{a^{3m-a^2}}{4^{m-n^2+2n}} \times (-a^{m+2^n})\)

এখানে ভিত্তি 'a' এবং '4' উভয়ই বিদ্যমান, এবং একটি ঋণাত্মক চিহ্নও রয়েছে। এই রাশিটিকে সরলীকরণ করে 1 পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং, বিবৃতি iii. সঠিক নয়।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, প্রদত্ত তিনটি বিবৃতির কোনোটিই সঠিক নয়।

এই প্রশ্নের প্রধান ত্রুটিসমূহ:

• প্রশ্নের শুরুতে "তিনটি সূচকীয় রাশি" উল্লেখ করা হলেও, প্রকৃতপক্ষে দুটি `$`\; ব্লক\; দেওয়া\; হয়েছে\; যেখানে\; প্রথম\; ব্লকটিতে\; ভিন্ন\; ভিত্তির\; দুটি\; রাশি\; একত্রিত\; অবস্থায়\; আছে।\; "প্রথম\; রাশি",\; "দ্বিতীয়\; রাশি"\; এবং\; "তৃতীয়\; রাশি"\; নির্ধারণে\; অস্পষ্টতা\; রয়েছে।$
• বিবৃতি ii. তে রাশিগুলির মধ্যে গাণিতিক অপারেটর অনুপস্থিত।
• সূচক হিসেবে \(a^2\) এবং \(2^n\) এর উপস্থিতি সপ্তম শ্রেণির গণিতের জন্য বেশ জটিল এবং সম্ভবত টাইপো। সাধারণত এ স্তরে সূচকের চলকগুলো সরল প্রকৃতির হয়।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।